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En `F33f`_`[mathématiques`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Mathématiques]`_`f, le `!programme de Langlands`! est encore, au début du XXIe siècle, un domaine de recherche actif et fertile en `F33f`_`[conjectures`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Conjecture]`_`f. Ce programme souhaite relier entre eux différents sous-domaines des mathématiques semblant éloignés les uns des autres. En particulier l'objectif est d'établir des correspondances fines entre :

• la `F33f`_`[théorie des nombres`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Théorie_des_nombres]`_`f et les `F33f`_`[représentations de certains groupes`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Représentation_de_groupe]`_`f ;

• la théorie des `F33f`_`[corps de fonctions`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Corps_de_fonctions]`_`f et l'`F33f`_`[analyse harmonique`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Analyse_harmonique]`_`f ;

• la théorie des `F33f`_`[surfaces de Riemann`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Surfaces_de_Riemann]`_`f et celle des `F33f`_`[faisceaux`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Faisceau_(de_modules)]`_`f.

Le premier de ces volets a été proposé par `F33f`_`[Robert Langlands`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Robert_Langlands]`_`f en 1967, d'autres mathématiciens dont `F33f`_`[André Weil`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=André_Weil]`_`f, `F33f`_`[Edward Frenkel`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Edward_Frenkel]`_`f, `F33f`_`[Peter Scholze`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Peter_Scholze]`_`f ou `F33f`_`[Dennis Gaitsgory`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Dennis_Gaitsgory]`_`f l'ont enrichi par la suite en y ajoutant entre autres de nouveaux volets. La démonstration du `F33f`_`[3e volet géométrique`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Correspondance_de_Langlands_géométrique]`_`f a été achevée par Gaitsgory en 2024.

Le programme de Langlands est porteur d'idées fructueuses, dont celles ayant abouti en `F33f`_`[1994`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=1994_en_mathématiques]`_`f à la démonstration du `F33f`_`[grand théorème de Fermat`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Grand_théorème_de_Fermat]`_`f par `F33f`_`[Andrew Wiles`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Andrew_Wiles]`_`f.

>>Contents

• `F0af`_`[Relation avec la théorie des nombres`#relation-avec-la-th-orie-des-nombres]`_`f

• `F0af`_`[Exemple d'application : la preuve du grand théorème de Fermat`#exemple-d-application-la-preuve-du-grand-th-or-me-de-fermat]`_`f

• `F0af`_`[Le contexte des représentations automorphes`#le-contexte-des-repr-sentations-automorphes]`_`f

• `F0af`_`[Un principe général de fonctorialité`#un-principe-g-n-ral-de-fonctorialit]`_`f

• `F0af`_`[Idées conduisant au programme de Langlands`#id-es-conduisant-au-programme-de-langlands]`_`f

• `F0af`_`[État d'avancement`#tat-d-avancement]`_`f

• `F0af`_`[1 er volet : théorie des nombres et formes automorphes`#1-er-volet-th-orie-des-nombres-et-formes-automorphes]`_`f

• `F0af`_`[2 e volet : corps de fonctions et analyse harmonique`#2-e-volet-corps-de-fonctions-et-analyse-harmonique]`_`f

• `F0af`_`[3 e volet : surfaces de Riemann et faisceaux`#3-e-volet-surfaces-de-riemann-et-faisceaux]`_`f

• `F0af`_`[Prix`#prix]`_`f

• `F0af`_`[Notes et références`#notes-et-r-f-rences]`_`f

• `F0af`_`[Bibliographie`#bibliographie]`_`f

-─

>>Relation avec la théorie des nombres

La première étape du programme, réalisée bien avant les travaux de Langlands, peut être vue comme la `F33f`_`[théorie des corps de classes`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Théorie_des_corps_de_classes]`_`f. La `F33f`_`[loi de réciprocité d'Artin`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Loi_de_réciprocité_d'Artin]`_`f s'applique à une `F33f`_`[extension`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Extension_de_corps]`_`f de `F33f`_`[corps de nombres`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Corps_de_nombres]`_`f dont le `F33f`_`[groupe de Galois`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Groupe_de_Galois]`_`f est `F33f`_`[abélien`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Groupe_abélien]`_`f, et considère les représentations de dimension 1 de ce groupe de Galois à valeurs dans le groupe multiplicatif du corps de base. Plus précisément, des `F33f`_`[fonctions L`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Fonction_L]`_`f associées à ces représentations unidimensionnelles sont identiques à certaines `F33f`_`[séries L de Dirichlet`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Série_L_de_Dirichlet]`_`f (les analogues de la `F33f`_`[fonction zêta de Riemann`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Fonction_zêta_de_Riemann]`_`f construites à partir des `F33f`_`[caractères de Dirichlet`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Caractère_de_Dirichlet]`_`f). La correspondance entre ces différentes sortes de fonctions L constitue la loi de réciprocité d'Artin.

Pour les groupes de Galois non-abéliens et pour leurs représentations de dimensions plus élevées, on peut encore définir les fonctions L d'une manière naturelle : les `F33f`_`[fonctions L d'Artin`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Conjecture_d'Artin_sur_les_fonctions_L]`_`f.

>>>Exemple d'application : la preuve du grand théorème de Fermat

Le `F33f`_`[grand théorème de Fermat`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Grand_théorème_de_Fermat]`_`f, selon lequel il n'existe pas de solution entière à l'`F33f`_`[équation diophantienne`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Équation_diophantienne]`_`f x n + y n = z n {\\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}} n'admet aucune solution entière pour n > 2 {\\displaystyle n>2} , a été `F33f`_`[conjecturé`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Conjecture]`_`f par `F33f`_`[Pierre de Fermat`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Pierre_de_Fermat]`_`f au `F33f`_`[XVIIe siècle`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=XVIIe_siècle]`_`f et certains cas particuliers ont été démontré au cours des siècles suivants par divers mathématiciens (dont Fermat lui-même ou `F33f`_`[Sophie Germain`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Sophie_Germain]`_`f) mais la preuve définitive pour tout entier n > 2 {\\displaystyle n>2} n'a été apporté qu'à la fin du `F33f`_`[XXe siècle`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=XXe_siècle]`_`f par `F33f`_`[Andrew Wiles`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Andrew_Wiles]`_`f à l'aide d'idées venant du programme de Langlands`:cite-ref-pls573-1-0[`F5bf`_`[1`#cite-note-pls573-1]`_`f].

Les mathématiciens `F33f`_`[Gerhard Frey`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Gerhard_Frey]`_`f et `F33f`_`[Ken Ribet`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Ken_Ribet]`_`f ont montré dans les `F33f`_`[années 1980`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Années_1980]`_`f que s'il existe un `F33f`_`[contre-exemple`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Contre-exemple]`_`f à la conjecture de Fermat, alors une certaine `F33f`_`[courbe elliptique`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Courbe_elliptique]`_`f (appelée depuis la `*courbe de Frey`*) doit en vertu de la `F33f`_`[conjecture de Taniyama-Shimura-Weil`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Théorème_de_modularité]`_`f posséder une `F33f`_`[forme modulaire`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Forme_modulaire]`_`f`:cite-ref-pls573-1-1[`F5bf`_`[1`#cite-note-pls573-1]`_`f]. Or Ribet a également montré que la courbe qui porte son nom ne possède pas de forme modulaire`:cite-ref-pls573-1-2[`F5bf`_`[1`#cite-note-pls573-1]`_`f]. Prouver la conjecture de Taniyama-Shimura-Weil, ce qu'a fait Andrew Wiles en 1994 dans un cas particulier pertinent pour le problème, permet donc de `F33f`_`[démontrer par l'absurde`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Raisonnement_par_l'absurde]`_`f que la conjecture de Fermat n'admet pas de contre-exemple, ce qui la prouve`:cite-ref-pls573-1-3[`F5bf`_`[1`#cite-note-pls573-1]`_`f].

La relation entre courbe elliptique et forme modulaire via la conjecture de Taniyama-Shimura-Weil est un point important du programme de Langlands`:cite-ref-pls573-1-4[`F5bf`_`[1`#cite-note-pls573-1]`_`f].

>>Le contexte des représentations automorphes

Le premier pas de Langlands fut de trouver la généralisation appropriée des fonctions L de Dirichlet qui permettrait la formulation de l'énoncé d'Artin dans un cadre plus général.

Auparavant, `F33f`_`[Hecke`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Erich_Hecke]`_`f avait relié les fonctions L de Dirichlet avec les `F33f`_`[formes automorphes`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Forme_automorphe]`_`f (fonctions `F33f`_`[holomorphes`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Holomorphe]`_`f sur le demi-plan supérieur de `F33f`_`[ℂ`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Plan_complexe]`_`f qui satisfont certaines `F33f`_`[équations fonctionnelles`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Équation_fonctionnelle]`_`f). Langlands généralisa alors celles-ci aux `F33f`_`[représentations cuspidales`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Représentation_parabolique]`_`f automorphes, qui sont certaines représentations irréductibles de dimension infinie du `F33f`_`[groupe général linéaire`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Groupe_général_linéaire]`_`f GL`*n`* sur l'`F33f`_`[anneau adélique`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Anneau_adélique]`_`f de `F33f`_`[ℚ`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Nombre_rationnel]`_`f (cet anneau garde une trace de tous les complétés de ℚ, voir `F33f`_`[nombres p-adiques`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Nombre_p-adique]`_`f).

Langlands associa des fonctions L à ces représentations automorphes, et conjectura que chaque fonction L d'Artin issue d'une représentation de dimension finie d'un groupe de Galois d'un `F33f`_`[corps de nombres`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Corps_de_nombres]`_`f est égale à une fonction L issue d'une représentation cuspidale automorphe. Ceci constitue la « conjecture de réciprocité de Langlands ».

>>Un principe général de fonctorialité

Langlands généralisa encore son programme : à la place du groupe linéaire général GL`*n`*, d'autres `F33f`_`[groupes réductifs`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Groupe_réductif]`_`f peuvent être considérés. De plus, en se donnant un tel groupe `*G`*, Langlands construit un `F33f`_`[groupe de Lie`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Groupe_de_Lie]`_`f L`*G`*, puis, pour chaque représentation cuspidale automorphe de `*G`* et chaque représentation de dimension finie de L`*G`*, il définit une fonction L. Une de ses conjectures prédit que ces fonctions L satisfont une certaine équation fonctionnelle généralisant celles des fonctions L les mieux connues.

Puis il formule un « principe de fonctorialité » très général. Deux groupes réductifs et un morphisme entre les groupes L correspondants étant donnés, cette conjecture relie leurs représentations automorphes d'une manière qui est compatible avec leurs fonctions L. Cette conjecture de fonctorialité implique toutes les conjectures présentées jusque-là. Cette construction, d'une nature analogue à celle des `F33f`_`[représentations induites`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Représentation_induite_d'un_groupe_fini]`_`f – qui, dans la théorie plus traditionnelle des formes automorphes, a été appelée un relèvement – est connue dans certains cas particuliers, et est covariante (tandis qu'une représentation restreinte (en) est contravariante). Les tentatives pour obtenir une construction directe n'ont produit que des résultats conditionnels.

Toutes ces conjectures peuvent être formulées pour des corps plus généraux à la place de ℚ : les `F33f`_`[corps de nombres algébriques`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Corps_de_nombres_algébriques]`_`f (le cas originel et le plus important), les `F33f`_`[corps locaux`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Corps_local]`_`f, et les `F33f`_`[corps de fonctions`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Corps_de_fonctions]`_`f (`F33f`_`[extensions finies`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Extension_finie]`_`f de `!F`!`*p`*(X) où `*p`* est un `F33f`_`[nombre premier`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Nombre_premier]`_`f et `!F`!`*p`*(X) est le corps des fonctions rationnelles sur le `F33f`_`[corps fini`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Corps_fini]`_`f `!F`!`*p`* à `*p`* éléments).

>>Idées conduisant au programme de Langlands

Dans un contexte très large, le programme a été construit sur des idées existantes : la `*philosophie des formes cuspidales (en)`*, formulée quelques années plus tôt par `F33f`_`[Israel Gelfand`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Israel_Gelfand]`_`f, le travail et l'approche d'`F33f`_`[Harish-Chandra`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Harish-Chandra]`_`f sur les `F33f`_`[groupes de Lie semi-simples`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Groupe_de_Lie]`_`f, et en termes techniques la `F33f`_`[formule des traces`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Formule_des_traces_de_Selberg]`_`f de `F33f`_`[Selberg`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Atle_Selberg]`_`f et d'autres.

Ce qui, initialement, était très novateur dans le travail de Langlands, excepté la profondeur technique, était de proposer une connexion directe à la théorie des nombres, mêlée avec la structure organisationnelle hypothétique, qui a été appelée `*fonctorialité`*.

Par exemple, dans le travail d'Harish-Chandra, on trouve le principe de ce qui peut être fait pour un `F33f`_`[groupe de Lie`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Groupe_de_Lie]`_`f semi-simple (ou réductif), ce qui pourrait être fait pour tous. Par conséquent, une fois que le rôle de certains groupes de Lie de dimension basse tels que GL2 dans la théorie des formes modulaires a été reconnu, et rétrospectivement, avec GL1 dans la `F33f`_`[théorie des corps de classes`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Théorie_des_corps_de_classes]`_`f, la voie est ouverte aux spéculations pour GL`*n`* au moins pour `*n`* > 2.

L'idée de `*forme cuspidale`* provient des courbes cuspidales dans les `F33f`_`[courbes modulaires`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Courbe_modulaire]`_`f mais aussi a un sens visible dans la `F33f`_`[théorie spectrale`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Théorie_spectrale]`_`f comme un « `F33f`_`[spectre discret`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Spectre_discret]`_`f », qui contrastait avec le « spectre continu (en) » des `F33f`_`[séries d'Eisenstein`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Série_d'Eisenstein]`_`f. Elle devint beaucoup plus technique pour les groupes de Lie plus grands, parce que les `F33f`_`[sous-groupes paraboliques`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Sous-groupe_de_Borel]`_`f sont plus nombreux.

Et, du côté des formes modulaires, il y avait des exemples tels que les `F33f`_`[formes modulaires de Hilbert`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Forme_modulaire_de_Hilbert]`_`f, les formes modulaires de Siegel (en) et les `F33f`_`[fonctions thêta`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Fonction_thêta]`_`f.

>>État d'avancement

Le programme de Langlands comporte trois volets distincts visant à relier des domaines des mathématiques semblant séparés de prime abord`:cite-ref-pls573-1-5[`F5bf`_`[1`#cite-note-pls573-1]`_`f]:

• la `F33f`_`[théorie des nombres`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Théorie_des_nombres]`_`f et celle des `F33f`_`[formes automorphes`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Forme_automorphe]`_`f ;

Plus précisément l'objectif est de pouvoir associer à chaque objet de l'un des domaines un autre objet du problème correspondant. Par exemple dans le cas de la preuve du `F33f`_`[dernier théorème de Fermat`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Dernier_théorème_de_Fermat]`_`f, le programme de Langlands intervient dans l'association à toute `F33f`_`[courbe elliptique`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Courbe_elliptique]`_`f d'une `F33f`_`[forme modulaire`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Forme_modulaire]`_`f`:cite-ref-pls573-1-6[`F5bf`_`[1`#cite-note-pls573-1]`_`f]. Cela permet de pouvoir raisonner sur les formes modulaire pour déduire une propriété sur les courbes elliptiques`:cite-ref-pls573-1-7[`F5bf`_`[1`#cite-note-pls573-1]`_`f]. Pour être complet, le programme de Langlands doit donc établir deux correspondances pour chacun des trois volets, dans le sens direct et dans le `F33f`_`[sens réciproque`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Réciproque]`_`f`:cite-ref-pls573-1-8[`F5bf`_`[1`#cite-note-pls573-1]`_`f].

>>>1 er volet : théorie des nombres et formes automorphes

Que ce soit dans un sens ou dans l'autre, aucune correspondance n'a été prouvée autrement que dans des cas particuliers, dont le `F33f`_`[théorème de modularité`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Théorème_de_modularité]`_`f (anciennement `*conjecture de `F33f`_`[Taniyama`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Yutaka_Taniyama]`_`f-`F33f`_`[Shimura`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Goro_Shimura]`_`f-`F33f`_`[Weil`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=André_Weil]`_`f`*) dont la preuve par `F33f`_`[Andrew Wiles`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Andrew_Wiles]`_`f a abouti à celle du `F33f`_`[grand théorème de Fermat`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Grand_théorème_de_Fermat]`_`f`:cite-ref-pls573-1-9[`F5bf`_`[1`#cite-note-pls573-1]`_`f].

>>>2 e volet : corps de fonctions et analyse harmonique

La correspondance a été établie dans le cas général de l'analyse vers les corps de fonctions suite aux travaux de `F33f`_`[Vladimir Drinfeld`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Vladimir_Drinfeld]`_`f puis `F33f`_`[Laurent`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Laurent_Lafforgue]`_`f et `F33f`_`[Vincent Lafforgue`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Vincent_Lafforgue]`_`f`:cite-ref-pls573-1-10[`F5bf`_`[1`#cite-note-pls573-1]`_`f]. Dans l'autre sens il n'y a de correspondance que dans des cas particuliers`:cite-ref-pls573-1-11[`F5bf`_`[1`#cite-note-pls573-1]`_`f].

>>>3 e volet : surfaces de Riemann et faisceaux

La correspondance a été établie dans le cas général et dans les deux sens en 2024, après une avancée décisive pendant la `F33f`_`[pandémie de covid-19 de 2020`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Pandémie_de_covid-19_de_2020]`_`f`:cite-ref-pls573-1-12[`F5bf`_`[1`#cite-note-pls573-1]`_`f]. La preuve publiée, cumulant près d'un millier de pages, n'a pas encore été relue par la communauté mathématiques mais les spécialistes du domaine sont optimistes quant à la validité de la publication`:cite-ref-pls573-1-13[`F5bf`_`[1`#cite-note-pls573-1]`_`f]`:cite-ref-quanta-2-0[`F5bf`_`[2`#cite-note-quanta-2]`_`f]`:cite-ref-epsilon-3-0[`F5bf`_`[3`#cite-note-epsilon-3]`_`f].

>>Prix

Les parties du programme concernant les corps locaux ont été complétées en 1998 par `F33f`_`[Michael Harris`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Michael_Harris_(mathématicien)]`_`f, `F33f`_`[Richard Taylor`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Richard_Taylor_(mathématicien)]`_`f et `F33f`_`[Guy Henniart`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Guy_Henniart]`_`f et concernant les corps de fonctions en 1999. `F33f`_`[Laurent Lafforgue`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Laurent_Lafforgue]`_`f a reçu la `F33f`_`[médaille Fields`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Médaille_Fields]`_`f en 2002 pour son travail sur le cas du corps de fonctions. Ce travail prolongeait les recherches menées par `F33f`_`[Vladimir Drinfeld`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Vladimir_Drinfeld]`_`f, pour lesquelles celui-ci a reçu la médaille Fields en 1990. Seuls des cas particuliers concernant les corps de nombres ont été démontrés, certains par Langlands lui-même.

`F33f`_`[Langlands`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Robert_Langlands]`_`f a reçu le `F33f`_`[Prix Wolf`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Prix_Wolf]`_`f en 1996 et le `F33f`_`[prix Nemmers en mathématiques`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Prix_Nemmers_en_mathématiques]`_`f en 2006 pour son travail sur ces conjectures. `F33f`_`[Laurent Lafforgue`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Laurent_Lafforgue]`_`f (en 2000), `F33f`_`[Gérard Laumon`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Gérard_Laumon]`_`f et `F33f`_`[Ngô Bảo Châu`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Ngô_Bảo_Châu]`_`f (en 2004), Michael Harris et Richard Taylor (en 2007) et `F33f`_`[Jean-Loup Waldspurger`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Jean-Loup_Waldspurger]`_`f (en 2009) ont reçu le `F33f`_`[Clay Research Award`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Clay_Research_Award]`_`f pour leurs travaux sur le programme et Ngô Bảo Châu la `F33f`_`[médaille Fields`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Médaille_Fields]`_`f en 2010 pour sa démonstration du `F33f`_`[lemme fondamental`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Lemme_fondamental]`_`f.

>>Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Langlands program » (voir la liste des auteurs).

`:cite-note-pls573-1`!1.`! `:bischoff2025`a`:manon-bischoff2025`aManon Bischoff (de), « Un pont géométrique monumental », `*`F33f`_`[Pour la science`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Pour_la_science]`_`f`*, no 573,‎ juillet 2025 (lire en ligne, consulté le 12 juillet 2025), adaptation en français de `:bischoff2025`a`:manon-bischoff2025`a(de) Manon Bischoff (de), « 1000 Seiten Beweis für eine mathematische Weltformel » [« 1 000 pages de preuves pour une formule mathématique du monde »], `*Spektrum der Wissenschaft (de)`*,‎ 8 mars 2025 (lire en ligne, consulté le 12 juillet 2025).

`:cite-note-quanta-2`!2.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-quanta-2-0]`_`f `:klarreich2024`a`:erica-klarreich2024`a(en) Erica Klarreich, « Monumental Proof Settles Geometric Langlands Conjecture », sur `F33f`_`[Quanta Magazine`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Quanta_Magazine]`_`f, 19 juillet 2024 (consulté le 8 juillet 2025).

`:cite-note-epsilon-3`!3.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-epsilon-3-0]`_`f `:laurens2024`a`:cl-mentine-laurens2024`aClémentine Laurens, « Mathématiques : la démonstration historique », `*`F33f`_`[Epsiloon`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Epsiloon]`_`f`*, no 41,‎ octobre 2024 (lire en ligne).

>>Bibliographie

• `:colmez2012`a`:pierre-colmez2012`a`F33f`_`[Pierre Colmez`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Pierre_Colmez]`_`f, Éléments d’analyse et d’algèbre (et de théorie des nombres), Les Éditions de l’École polytechnique, 2012, 2e éd.

• Robert Langlands, « Le programme de Langlands », `*Pour la Science`* n°361, novembre 2007.

• `:gelbart1984`a`:stephen-gelbart1984`a(en) `F33f`_`[Stephen Gelbart`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Stephen_Gelbart]`_`f, « An Elementary Introduction to the Langlands Program », `*`F33f`_`[Bull. Amer. Math. Soc.`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Bulletin_of_the_American_Mathematical_Society]`_`f`*, vol. 10, no 2,‎ avril 1984

• (en) `F33f`_`[Edward Frenkel`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Edward_Frenkel]`_`f, `*Lectures on the Langlands Program and Conformal Field Theory`*, `F33f`_`[arXiv`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=ArXiv]`_`f:hep-th/0512172

• (en) Daniel Bump, `F33f`_`[Joseph Bernstein`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Joseph_Bernstein]`_`f et Stephen Gelbart, `*An Introduction to the Langlands Program`* (`F33f`_`[ISBN`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=International_Standard_Book_Number]`_`f 978-3-76433211-2)

• `:2024`a« Proof of the geometric Langlands conjecture », sur `F33f`_`[mpim-bonn.mpg.de`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Institut_Max_Planck]`_`f, 2024.

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